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柱形域上的Riesz位势积分方程组超定问题的对称性

吕博强 谭秀兰 蔡贵

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柱形域上的Riesz位势积分方程组超定问题的对称性

    作者简介: 吕博强(1986— ),男,博士,副教授。主要研究方向:偏微分方程及其应用.
  • 中图分类号: O175.2

Symmetry of An Integral System with Risez Potential in the Cylinder Type Domain

  • CLC number: O175.2

  • 摘要: 考虑$R_n^ + $上无界柱形域的一类Riesz位势积分方程组,一方面,证明了超定问题正解存在时柱形域是圆柱且解轴对称;另一方面,如果部分边界条件具有一定几何条件,证明了部分超定问题相应的区域和解的对称性。首次给出了$R_n^ + $上无界柱形域积分方程组超定问题的对称结果,推广并改进了现有单个方程的结果。
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-14
  • 录用日期:  2019-07-18
  • 刊出日期:  2019-09-01

柱形域上的Riesz位势积分方程组超定问题的对称性

    作者简介: 吕博强(1986— ),男,博士,副教授。主要研究方向:偏微分方程及其应用
  • 南昌航空大学 数学与信息科学学院,南昌 330063

摘要: 考虑$R_n^ + $上无界柱形域的一类Riesz位势积分方程组,一方面,证明了超定问题正解存在时柱形域是圆柱且解轴对称;另一方面,如果部分边界条件具有一定几何条件,证明了部分超定问题相应的区域和解的对称性。首次给出了$R_n^ + $上无界柱形域积分方程组超定问题的对称结果,推广并改进了现有单个方程的结果。

English Abstract

    • 考虑如下积分方程

      $\displaystyle{ \tag{1.1}\!\!\!\!\!u\left( {x} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\dfrac{1} {{2{\text{π}} }}}\displaystyle\int_\Omega {\log |x - y{|^{ - 1}}{\rm{d}}y,} }&{n = 2}\\ {{\dfrac{1} {{(n - 1){\omega _n}}}}\displaystyle\int_\Omega {|x - y{|^{n - 2}}{\rm{d}}y,} }&{n > 2} \end{array}\;\;x \in \Omega } \right.}$

      其中有界区域$\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$$\partial \Omega $足够光滑,${\omega _n}$${R^n}$中单位球的表面积。显然,积分方程(1.1)是可解的。然而,对方程(1.1)附加如下边值条件:

      $ \tag{1.2}u\left( {x} \right) = C, \;\;\;\;\;\;x \in \partial \Omega $

      那么问题(1.1)、(1.2)则是积分方程超定问题,此时(1.2)称为超定边值条件。就超定问题(1.1)、(1.2)而言,其解的存在性和区域的几何形状有密切关系。

      文献[1]首次研究了超定问题(1.1)、(1.2),证明了如果解存在那么区域$\Omega $必定是球。记

      $ \tag{1.3}{r_i} = |x - y{|^{i - n}} (0 < i < n)$

      文献[2]考虑了光滑有界区域$\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$上的积分方程

      $ \tag{1.4}u\left( {x} \right) = A\int_\Omega {{r_\alpha }{u^p}\left( {y} \right)} {\rm{d}}y + B, u > 0, x \in \Omega $

      证明了如下结论:如果超定问题(1.4)、(1.2)存在正解,则区域$\Omega $为球,解$u(x)$径向对称、关于半径单调递减。更多研究有界区域积分方程(组)超定问题的结果可参考文献[3-5]。

      $\Gamma \subseteq \partial \Omega $$\partial \Omega $上的连通真子集,如果(1.2)仅在$\Gamma \subseteq \partial \Omega $上成立,即

      $ \tag{1.5}u\left( {x} \right) = C, \;\;\;\;\;x \in \Gamma \subseteq \partial \Omega $

      称积分方程满足边值条件(1.5)的问题为部分超定问题。部分超定问题的研究将更加深入的探讨超定边值条件对解的影响。文献[6]首次考虑了积分方程部分超定问题(1.4)、(1.5),如果部分边界$\Gamma $具有一定的几何条件(即包含一个帽,见定义1.1),研究证明了如果存在满足可积性条件的解,则超定边值条件将在全部边界$\partial \Omega $上成立,即部分超定问题(1.4)、(1.5)为文献[2]中的标准超定问题(1.4)、(1.2),进而利用文献[2]的结果可以得到解和区域的对称性。

      综上所述,光滑有界区域$\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$上积分方程(部分)超定问题的研究已取得许多经典结果。对于无界区域,例如上半空间柱形域$\Omega = D \times {R_ + }$(其中$D \in {R^{n - 1}}$是有界域),积分方程超定问题解和区域的对称性是否依然成立?文献[7]首次研究了上半空间柱形域$\Omega = D \times {R_ + }$上的Bessel位势积分方程:

      $ \tag{1.6}u\left( x \right) = A\int_\Omega {\left( {{g_\alpha }\left( {x - y} \right) - {g_\alpha }({x^ * } - y)} \right){u^p}\left( y \right)} {\rm{d}}y,u > 0,x \in \Omega $

      满足如下超定边值条件

      $ \tag{1.7}u\left( {x} \right) = C\left( {{x_n}} \right),x = \left( {{x_1},{x_2}, \cdots,{x_n}} \right) \in \partial D \times {R_ + }$

      文献[7]证明了如果超定问题(1.6)、(1.7)存在满足一定可积性条件的解,则区域$D$是一个球,即$\Omega $是圆柱形区域,且$u$关于$\Omega $的中心轴${l_d}$对称。然而,对于含多个方程的积分方程组或者超定边值条件(1.7)仅在部分边界上成立,无界柱形域上积分方程组(部分)超定问题的对称性研究尚未解决。这正是本文的主要研究内容。

    • $D \in {R^{n - 1}}$为有界光滑区域,$\Omega = D \times {R_ + }$为上半空间无界柱形域,考虑具Riesz位势的如下积分方程组:

      $ \tag{1.8}\left\{ \begin{array}{l} u\left( x \right) = A\int_\Omega {{G_\alpha }\left( {x,y} \right){v^p}\left( y \right){\rm{d}}y, u > 0, x \in \Omega } \\ v\left( x \right) = B\int_\Omega {{G_\beta }\left( {x.y} \right){u^q}\left( y \right){\rm{d}}y, v > 0, x \in \Omega } \end{array} \right.$

      这里$p,q,\alpha,\beta,A,B$是正常数,${G_i}(x,y) (i = a,\beta )$定义如下

      $ \tag{1.9}{G_i}\left( {x,y} \right) = \dfrac{1}{{|x - y{|^{n - i}}}} - \dfrac{1}{{|{x^*} - y{|^{n - i}}}}$

      其中${x^*} = \left( {{x_1},{x_2}, \cdot \cdot \cdot, - {x_n}} \right)$$x$关于${x_n} = 0$的对称点。实际上,${G_i}(x,y)$$R_ + ^n$上满足Navier边界条件的格林函数,即

      $\left\{ \begin{array}{l} {( - \Delta )^{\frac{\nu }{2}}}{G_i}\left( {x,y} \right) = \delta \left( {x - y} \right),{\rm{ }}in\;{\rm{ }}R_ + ^n\\ {G_i} = \left( { - \Delta } \right){G_i} = \cdots = {\left( { - \Delta } \right)^{\frac{i}{2} - 1}}{G_\nu } = 0,{\rm{ }}on\;{\rm{ }}\partial R_ + ^n \end{array} \right.$

      其中,$\delta $是Dirac函数。

      首先,本文考虑积分方程组(1.8)满足如下超定边界条件

      $ \tag{1.10}\begin{split}&u\left( x \right) = {C_1}\left( {{x_n}} \right),\:\:v\left( x \right) = {C_2}({x_n}),\:\:\\&x = \left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right) \in D \times {R_ + } \end{split}$

      其中${C_i}(0) = 0 (i = {\rm{1,2)}}$满足${C_i}(t) > 0$(当t > 0时)。对于上半空间柱形域$\Omega = D \times R_ + ^n$上的积分方程组超定问题(1.8)、(1.10),有如下定理。

      定理1.1$\partial D \in {C^1}$,常数$p,{\rm{ }}q > 1$${\rm{0}} < \alpha,{\rm{ }}\beta < n$且满足:

      $ \tag{1.11}\frac{{\rm{1}}}{{p + 1}} + \frac{1}{{q + 1}} = \frac{{n - \beta }}{{2n - \beta + \alpha }} + \frac{{n - \alpha }}{{2n - \alpha + \beta }}$

      如果问题(1.8)、(1.10)的解存在且满足:

      $ \tag{1.12}u \in {L^a}\left( {\Omega } \right) \cap {C^1}(\Omega ),{\rm{ }}v \in {L^b}(\Omega ) \cap {C^1}(\Omega )$

      其中:

      $ \tag{1.13}a = \frac{{n(pq - 1)}}{{p\beta + \alpha }},{\rm{ }}b = \frac{{n(pq - 1)}}{{q\alpha + \beta }}$

      $\Omega $为圆柱形区域,解$u,v$关于$\Omega $的中心轴${l_d}$是轴对称的。

      注1.1$d \in R_ + ^n$是区域$D$的球心,则中心轴为${l_d} = \{ (d,{x_n}) \in R_ + ^n \left| { {x_n} > 0} \right.\} $,显然中心轴${l_d}$${x_n}$轴平行。

      注1.2积分方程(1.8)、(1.10)的解满足偏微分方程:

      $ \tag{1.14}\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - \Delta } \right)^{\frac{\alpha }{2}}}u\left( x \right) = A{u^q}\left( x \right),{\rm{ }}x \in \Omega \\ {\left( { - \Delta } \right)^{\frac{\beta }{2}}}v\left( x \right) = A{u^p}\left( x \right),{\rm{ }}x \in \Omega \\ u\left( x \right) = {C_1}\left( {{x_n}} \right),v(x) = {C_2}\left( {{x_n}} \right),{\rm{ }}x \in \partial D \times {R_ + }\\ u > 0,{\rm{ }}v > 0,{\rm{ }}x \in \Omega \end{array} \right.$

      反之,由偏微分方程(1.13)可导出积分方程

      $\left\{ \begin{array}{l} u(x) = A\int_\Omega {{G_\alpha }(x,y){v^p}(y){\rm{d}}y + C(x)},x \in \Omega \\ v(x) = B\int_\Omega {{G_\beta }(x,y){u^q}(y){\rm{d}}y + D(x)},x \in \Omega \end{array} \right.$

      其中$C(x),{\rm{ }}D(x)$一般不为零。

      注1.3如果$\alpha = \beta $$D = {R^{n - 1}}$,即$\Omega = R_ + ^n$,文献[8]研究了积分方程组(1.8),并证明了解$u,v$轴对称。因此,定理1.1推广了文献[8]的结果。

      假设超定边界条件(1.10)仅在$\partial D \times {R_ + }$的真子集上给定,即

      $ \tag{1.15}\begin{array}{l} u(x) = {C_1}({x_n}),v(x) = {C_1}({x_n}),x = ({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}) \in \Gamma \times {R_ + }\\ \end{array}$

      其中,$\Gamma $是边界$\partial D$的非空连通真子集。下面,我们将进一步讨论上半空间柱形域$\Omega = D \times R_ + ^n$上的积分方程组部分超定问题(1.8)、(1.15)。

      为准确阐述本文的第二个定理,需要帽的概念,即:

      定义1.1[6]$\partial \Omega \in {C^1}$,对于(超)平面$T \bot \partial \Omega $$T$$\partial \Omega $上某点$P$包含该点的单位外法向量$v(P)$,选取$\partial \Omega \backslash T$的某连通分支$\gamma $使得点$P$$\gamma $的闭包内。如果由$\gamma $$T$所围成的有界开集包含于$\Omega $内,则称$\gamma $为由平面$T$决定的边界$\partial \Omega $的帽。

      定理1.2$D \subset {R^{n - 1}}$为有界光滑的凸集,$\Omega = D \times $$ {R_ + }$$\partial D \in {C^1}$,假设

      1)问题(1.8)(1.15)存在满足条件(1.12)的解$u,v$

      2)部分边界$\Gamma \subseteq \partial D$是非空的连通真子集、$\partial D$的相对开集、包含$\partial D$的帽$\gamma $,其中帽$\gamma $是由某平面${\rm T} \bot \partial D$决定。

      3)解$u,v$$\partial D \times \{ t\} $上的最大值在$\Gamma \times \{ t\} $上取得($t > 0$),即

      $ \tag{1.16}\begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle{\mathop {\max }\limits_{\partial D \times \{ t\} } u(x) = \mathop {\max }\limits_{\Gamma \times \{ t\} } u(x),}&{\mathop {\max }\limits_{\partial D \times \{ t\} } v(x) = \mathop {\max }\limits_{\Gamma \times \{ t\} } v(x)} \end{array}$

      $\Omega $为圆柱形区域,解$u,v$关于$\Omega $的中心轴${l_d}$是轴对称的。

      注1.4定理1.1和1.2都是利用积分形式的移动平面法进行证明。

    • 首先,讨论(1.9)中格林函数${G_i}(x,y)\;\;(i = \alpha,\beta )$的一些性质。定义:

      $ {\left| {x - y} \right|^2} = d{\rm{(}}x,y{\rm{)}},\;4{x_n}{y_n} = \phi {\rm{(}}x,y{\rm{)}} $

      由直接计算可得:

      $\begin{array}{l} {\left| {{x^*} - y} \right|^2} = {({x_1} - {y_1})^2} + {({x_2} - {y_2})^2} + \cdots + {( - {x_n} - {y_n})^2} = \\ {\rm{ }}{({x_1} - {y_1})^2} + {({x_2} - {y_2})^2} + \cdots + {({x_n} - {y_n})^2} + 4{x_n}{y_n} = \\ {\rm{ }}{\left| {x - y} \right|^2} + 4{x_n}{y_n} = {\left| {x - y} \right|^2} + \phi (x,y) \end{array}$

      联合上式和(1.9)可知:

      $ \tag{1.17}\begin{split}&{G_\alpha }(x,y) = \frac{1}{{|x - y{|^{n - \alpha }}}} - \frac{1}{{|{x^*} - y{|^{n - \alpha }}}} = {d^{ - \frac{{n - \alpha }}{2}}} - \\&{(d + \phi )^{ - \frac{{n - \alpha }}{2}}}: = {H_\alpha }(d,\phi )\end{split}$

      $ \tag{1.18}\begin{split}&{G_\beta }(x,y) = \frac{1}{{|x - y{|^{n - \beta }}}} - \frac{1}{{|{x^*} - y{|^{n - \beta }}}} = {d^{ - \frac{{n - \beta }}{2}}} - \\&{(d + \phi )^{ - \frac{{n - \beta }}{2}}}: = {H_\beta }(d,\phi )\end{split}$

      其中$d = d(x,y),{\rm{ }}\phi = \phi (x,y)$。显然,${G_\alpha }(x,y) > 0,{\rm{ }}{G_\beta }$$(x,y) > 0 $,即

      ${H_\alpha },{\rm{ }}{H_\beta }:(0, + \infty ) \times (0, + \infty ) \to {R_ + }$

      引理1.1${H_\alpha },{\rm{ }}{H_\beta }:(0, + \infty ) \times (0, + \infty ) \to {R_ + }$是定义于(1.17)、(1.18)中的函数,则有

      $ \tag{1.19}\frac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial d}} < 0,{\rm{ }}\frac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial \phi }} > 0,{\rm{ }}\frac{{{\partial ^2}{H_\alpha }}}{{\partial \phi \partial d}} < 0$

      $ \tag{1.20}\frac{{\partial {H_\beta }}}{{\partial d}} < 0,{\rm{ }}\frac{{\partial {H_\beta }}}{{\partial \phi }} > 0,{\rm{ }}\frac{{{\partial ^2}{H_\beta }}}{{\partial \phi \partial d}} < 0$

      证明 由(1.17)可知

      $ \tag{1.21}\begin{split} &\frac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial d}} = - \frac{{n - \alpha }}{2}{d^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} + \frac{{n - \alpha }}{2}{(d + \phi )^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} = \\ &\frac{{n - \alpha }}{2}\left( {{{(d + \phi )}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} - {d^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}}} \right){\rm{ }} \\ \end{split} $

      $ \tag{1.22}\frac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial \phi }} = \frac{{n - \alpha }}{2}{(d + \phi )^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}}$

      $ \tag{1.23}\frac{{{\partial ^2}{H_\alpha }}}{{\partial \phi \partial d}} = - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}\frac{{n - \alpha }}{2}{(d + \phi )^{ - \frac{{n - \alpha + 4}}{2}}}$

      显然有$\dfrac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial d}} < 0,{\rm{ }}\dfrac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial \phi }} > 0,{\rm{ }}\dfrac{{{\partial ^2}{H_\alpha }}}{{\partial \phi \partial d}} > 0$,即(1.19)成立。同理,可证(1.20)。

      下面,给出H-L-S不等式的一个等价形式。

      引理1.2${\rm{HLS}}$不等式)[9]$g(x) \in {L^s}({R^n})$,其中$\dfrac{n}{{n - \alpha }} < p < \infty $,如果$Tg(x) =\displaystyle \int_{{R^n}} {{\rm{|}}x - y{{\rm{|}}^{\alpha - n}}g(y){\rm{d}}y}$,则有${\left\| {Tg} \right\|_{{L^s}}} \leqslant C\left( {n,s,\alpha } \right){\left\| g \right\|_{{L^{\frac{{np}}{{n + \alpha p}}}}}}$

    • 将利用积分形式的移动平面法[9]来证明定理1.1。对任意常数$\lambda $,设移动平面${T_\lambda } = \{ x \in R_ + ^n{\rm{ |}}$${x_1} = \lambda \} $,定义:

      $ \begin{split}&{\lambda _{\rm{0}}} = \min \{ \lambda \left| { {{\rm T}_\lambda } \cap \bar \Omega \ne \Phi } \right.\}{x^\lambda } =\\& (2\lambda - {x_1},{x_2}, \cdots,{x_n}){\Sigma _\lambda } = \{ x \in \Omega \left| { {x_1} < \lambda } \right.\}\\ & \Sigma _\lambda' = \{ x \in \Omega \left| { {x^\lambda } \in {\Sigma _\lambda }} \right.\}{\Omega _\lambda } = \\& \Omega \backslash \overline {({\Sigma _\lambda } \cup \Sigma _\lambda')}{u_\lambda }(x) = u({x^\lambda }) \end{split}$

      对任意的$t \in {R_ + }$,定义:

      $\begin{split} &{\Sigma _{\lambda,t}} = \{ x \in {\Sigma _\lambda } \left| { {x_n} = t} \right.\}\Sigma _{\lambda,t}' =\\& \{ x \in \Sigma _\lambda' \left| { {x_n} = t} \right.\}\\ &{\Omega _{\lambda,t}} = {\rm{\{ }}x \in {\Omega _\lambda } \left| { {x_n} = t} \right.{\rm{\} }}{\Omega _t} =\\& \{ x \in \Omega \left| { {x_n} = t} \right.\} = D \times \{ {x_n} = t\} \end{split}$

      由于$D$有界且$\partial D \in {C^1}$,则对充分小的$\varepsilon > 0$,当$\lambda \in [{\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon )$时有$\Sigma _\lambda' \subseteq \Omega $,连续地往右方向移动平面,$\Sigma _\lambda' \subseteq \Omega $依然成立直到以下二者之一发生

      $ \tag{2.1}\left( 1 \right)\Sigma _{\lambda,t}'{\rm{ }}\text{与}\partial {\Omega _t}{\rm{ }}\text{内切于某一点}(\hat z,t) \notin {T_\lambda },{\rm{ }}\text{其中}\hat z \in \partial D \subset {R^{n - 1}}$

      $ \tag{2.2}\left( 2 \right){T_\lambda }{\rm{ }}\text{与}{\rm{ }}\partial {\Omega _t}{\rm{ }}\text{正交于某一点}(\hat z,t),{\rm{ }}\text{其中}\hat z \in \partial D \subset {R^{n - 1}}$

      $\hat \lambda $为(1)或(2)二者之一发生时$\lambda $的最小值。

      首先,考虑解及其对称部分在区域${\Sigma _\lambda }$上的关系。

      引理2.1$u, v$是方程(1.8)、(1.10)的解,对任意$x \in {\sum _\lambda },{\rm{ }}\lambda \in \left( {{\lambda _0},\hat \lambda } \right]$

      $ \tag{2.3} \begin{split} &u(x) - u({x^\lambda }) = A\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y))({v^p}(y) - } \\ &v_\lambda ^p(y)){\rm{d}}y{\rm{ + }}A\int_{{\Omega _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y))} {v^p}(y){\rm{d}}y \end{split} $

      $ \tag{2.4} \begin{split} &v(x) - v({x^\lambda }) = B\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\beta }(x,y) - {G_\beta }({x^\lambda },y))({u^q}(y) -} \\ & u_\lambda ^q(y)){\rm{d}}y{\rm{ + }}B\int_{{\Omega _\lambda }} {({G_\beta }(x,y) - {G_\beta }({x^\lambda },y))} {u^q}(y){\rm{d}}y \end{split} $

      其中:

      $ \tag{2.5} {G_\alpha }(x,y) \!-\! {G_\alpha }({x^\lambda },y)\! > \!0,{G_\beta }(x,y) \!-\! {G_\beta }({x^\lambda },y) \!>\! 0,x,y \!\in\! {\Sigma _\lambda } $

      $ \tag{2.6} {G_\alpha }(x,y)\! - \!{G_\alpha }({x^\lambda },y)\! < \!0,{G_\beta }(x,y) \!- \!{G_\beta }({x^\lambda },y)\! < \!0,x \!\in\! {\Sigma _\lambda },y \!\in\! {\Omega _\lambda } $

      证明 首先,易得

      $\begin{split} &d(x,y) \!=\! d({x^\lambda },{y^\lambda }),{\rm{ }}\phi (x,y) \!=\! \phi ({x^\lambda },{y^\lambda })\! =\! 4{x_n}{y_n},x,y\! \in \!{\Sigma _\lambda },x\! \ne \!y\\ &d({x^\lambda },y) \!=\! d(x,{y^\lambda }),{\rm{ }}\phi ({x^\lambda },y) \!=\! \phi (x,{y^\lambda }) \!=\! 4{x_n}{y_n},x,y\! \in \!{\Sigma _\lambda },x\! \ne \!y\\ &d(x,y) < d({x^\lambda },y),{\rm{ }}\phi (x,y) = \phi ({x^\lambda },y) = 4{x_n}{y_n},x,y \in {\Sigma _\lambda },x \ne y\\ &d(x,y) > d({x^\lambda },y),{\rm{ }}\phi (x,y) = \phi ({x^\lambda },y) = 4{x_n}{y_n},x \in {\Sigma _\lambda },y \in {\Omega _\lambda }\end{split} $

      再结合格林函数${G_i}$的定义(1.9)和引理1.1,可知

      $ \tag{2.7} \begin{array}{l} {G_\alpha }(x,y) \!=\! {G_\alpha }({x^\lambda },{y^\lambda }),{\rm{ }}{G_\alpha }({x^\lambda },y) \!=\! {G_\alpha }(x,{y^\lambda }), x,y\! \in \!{\sum _\lambda },x\! \ne \!y\\ {G_\beta }(x,y) \!=\! {G_\beta }({x^\lambda },{y^\lambda }),{\rm{ }}{G_\beta }({x^\lambda },y) \!=\! {G_\beta }(x,{y^\lambda }), x,y\! \in \!{\sum _\lambda },x\! \ne \!y \end{array} $

      $ \tag{2.8} {G_\alpha }(x,y)\! -\! {G_\alpha }({x^\lambda },y)\! > \!0,{\rm{ }}{G_\beta }(x,y) \!- \!{G_\beta }({x^\lambda },y) \!>\! 0,x,y\! \in \!{\Sigma _\lambda },x\! \ne \!y $

      $ \tag{2.9} {G_\alpha }(x,y) \!-\! {G_\alpha }({x^\lambda },y) < 0,{\rm{ }}{G_\beta }(x,y) \!-\! {G_\beta }({x^\lambda },y) \!<\! 0,x \!\in\! {\Sigma _\lambda },y\! \in\! {\Omega _\lambda } $

      由(1.8)的第一个方程可知

      $\begin{split}&u(x) = A\int_{{\Sigma _\lambda }} {{G_\alpha }} (x,y){v^p}(y){\rm{d}}y + A\int_{\Sigma _\lambda'} {{G_\alpha }} (x,{y^\lambda })v_\lambda ^p(y){\rm{d}}y +\\& A\int_{{\Omega _\lambda }} {{G_\alpha }} (x,y){v^p}(y){\rm{d}}y\end{split}$

      $\begin{split}&u({x^\lambda }) = A\int_{{\Sigma _\lambda }} {{G_\alpha }} ({x^\lambda },y){v^p}(y){\rm{d}}y + A\int_{\Sigma _\lambda'} {{G_\alpha }} ({x^\lambda },{y^\lambda })v_\lambda ^p(y){\rm{d}}y +\\& A\int_{{\Omega _\lambda }} {{G_\alpha }} ({x^\lambda },y){v^p}(y){\rm{d}}y\end{split}$

      再结合(2.7)可得

      $ \tag{2.10}\begin{split} &u(x) - u({x^\lambda }) = A\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y)){v^p}(y){\rm{d}}y} - \\ &A\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\alpha }({x^\lambda },{y^\lambda }) - {G_\alpha }(x,{y^\lambda }))} v_\lambda ^p(y){\rm{d}}y + \\ &A\int_{{\Omega _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y))} {v^p}(y){\rm{d}}y = \\ &A\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y))({v^p}(y) - v_\lambda ^p(y)){\rm{d}}y} + \\ &A\int_{{\Omega _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y))} {v^p}(y){\rm{d}}y \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

      类似地,可以证明(2.4)。

      证毕。

      下面给出定理1.1证明的3个关键步骤:

      第1步:验证平面${{\rm T}_\lambda }$开始移动的初始条件,见引理2.2。定义

      $ \tag{2.11} \Sigma _\lambda ^u = \{ x \in {\Sigma _\lambda }|\omega _\lambda ^u(x) < 0\},\Sigma _\lambda ^v = \{ x \in {\Sigma _\lambda }|\omega _\lambda ^v(x) < 0\} $

      其中$\omega _\lambda ^f(x) = f({x^\lambda }) - f(x)$。对充分小的$\varepsilon > 0$,当$\lambda \in [{\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon )$时,证明$\displaystyle\Sigma _\lambda ^u,{\rm{ }}\Sigma _\lambda ^v$为空集,即

      $ \tag{2.12}\omega _\lambda ^u(x) \geqslant {\rm{0}},\;\;\omega _\lambda ^v(x) \geqslant {\rm{0}},\;\;x \in {\Sigma _\lambda }$

      这是开始移动平面${T_\lambda }$所满足的条件。

      第2步:连续移动平面直到临界位置,见引理2.3。定义

      $ \tag{2.13}\bar \lambda = \sup \{ \lambda \in ({\lambda _0},\hat \lambda ]|\omega _\lambda ^u(x) \geqslant 0, \omega _\lambda ^u(x) \geqslant 0, \forall x \in {\Sigma _\lambda }\} $

      往证$\bar \lambda = \hat \lambda $,即平面${{\rm T}_\lambda }$${{\rm T}_{{\lambda _{\rm{0}}}}}$位置连续移动到${{\rm T}_{\hat \lambda }}$位置过程中依然成立(2.13)。

      第3步:导出区域和解的对称性,见引理2.4。当$\bar \lambda = \hat \lambda $时,证明$\Omega ,u,v$关于平面${{\rm T}_{\hat \lambda }}$的对称性。

      由于移动平面选择的任意性,易得有界光滑区域$D$是一个球,即$\Omega $是圆柱体且$u,{\rm{ }}v$关于圆柱中心${l_d}$轴对称。

    • 定理1.1将按照2.1节的3个步骤给出具体证明,详见引理2.2~2.4。

      引理2.2存在$\varepsilon > 0$,使得$\forall \lambda \in ({\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon ]$有(2.12)成立。

      证明 由引理2.1,结合中值定理有

      $ \tag{2.14}\begin{split} &u(x) \!\!-\!\! u({x^\lambda })\!\! \leqslant \!\!A\int_{{\Sigma _\lambda }} {\left( {{G_\alpha }(x,y) \!-\! {G_\alpha }({x^\lambda },y)} \right)\left( {{v^p}(y) - v_\lambda ^p(y)} \right)} {\rm{d}}y \!\leqslant \\ &A\int_{\Sigma _\lambda ^v} {\left( {{G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^\lambda },y)} \right)\left( {{v^p}(y) - v_\lambda ^p(y)} \right)} {\rm{d}}y \leqslant \\ &A\int_{\Sigma _\lambda ^v} {{G_\alpha }(x,y)\left( {{v^p}(y) - v_\lambda ^p(y)} \right)} {\rm{d}}y \leqslant \\ &pA\int_{\Sigma _\lambda ^v} {\dfrac{1}{{|x - y{|^{n - \alpha }}}}{v^{p - 1}}(y)\left( {v(y) - {v_\lambda }(y)} \right){\rm{d}}y} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

      其中${\psi ^\lambda }(y)$为介于${v^\lambda }(y)$$v(y)$之间的值,因此在$\Sigma _\lambda ^v$上有${v^\lambda }(y) \leqslant {\psi ^\lambda }(y) \leqslant v(y)$

      类似(2.14)的推导,易得

      $ \tag{2.15}\begin{split}v(x) - v({x^\lambda }) \leqslant& qB\int_{\Sigma _\lambda ^u} {\frac{1}{{|x - y{|^{n - \beta }}}}{u^{q - 1}}} \\&{\left( {u(y) -{u^\lambda }(y)} \right)} {\rm{d}}y\end{split}$

      利用HLS不等式和Hölder不等式,由(2.14)和(2.15)可知

      $ \tag{2.16}\begin{split}&{\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}} \leqslant C\left\| {{v^{p - 1}}(v - {v_\lambda })} \right\|_{{L^p}(\Sigma _\lambda ^v)}^b \leqslant\\& C\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1}{\left\| {(v - {v_\lambda })} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}}\end{split}$

      $ \tag{2.17}\begin{split}&{\left\| {v - {v_\lambda }} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}} \leqslant C\left\| {{u^{q - 1}}(u - {u_\lambda })} \right\|_{{L^q}(\Sigma _\lambda ^u)}^a \leqslant \\&C\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}{\left\| {(v - {v_\lambda })} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}}\end{split}$

      其中$p,{\rm{ }}q,{\rm{ }}a,{\rm{ }}b$满足$b > p > 1$$a > q > 1$,且

      $ \tag{2.18} \frac{b}{p} = \frac{{na}}{{n + \alpha a}},\frac{b}{p} = \frac{{na}}{{n + \alpha a}} $

      由式(2.18)可推出$a = \dfrac{{n(pq - 1)}}{{p\beta + \alpha }}$$b = \dfrac{{n(pq - 1)}}{{q\alpha + \beta }}$,直接计算可得ab满足条件(1.11)。

      由式(2.16)、式(2.17)可得

      $ \tag{2.19}\!\!\!\!\!\!\!{\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}} \leqslant C\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1}\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}{\left\| {(u - {u_\lambda })} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}}$

      $ \tag{2.20}\!\!\!\!\!\!{\left\| {v - {v_\lambda }} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}} \leqslant C\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1}{\left\| {(v - {v_\lambda })} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}}$

      由于$u \in {L^a}(\Omega )$$v \in {L^b}(\Omega )$,故存在$\varepsilon > 0$使得当$\lambda \in ({\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon )$时有

      $ \tag{2.21}C\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1} \leqslant \frac{1}{2}$

      联合(2.19)~(2.21),可得

      $\begin{split} &{\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}} \leqslant \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\left\| {(u \!- {u_\lambda })} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}}{\left\| {v \!- {v_\lambda }} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}} \leqslant\\& \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\left\| {(v - {v_\lambda })} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}} \end{split}$

      从而$\mu (\Sigma _\lambda ^u) = 0$$\mu (\Sigma _\lambda ^v) = 0$,即(2.12)对所有$\lambda \in ({\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon ]$都成立。

      证毕。

      引理2.3$\bar \lambda $定义于(2.13),则$\bar \lambda = \hat \lambda $

      证明 反证法证明。假设$\bar \lambda < \hat \lambda $,则${\Omega _{\bar \lambda }} \ne \varphi $。据引理2.1,对$\forall x \in {\Sigma _{\bar \lambda }}$

      $ \tag{2.22} \begin{split} &u(x) \!-\! u({x^{\bar \lambda }}) \!\!=\!\! A\int_{{\sum _{\bar \lambda }}} {{\rm{(}}{G_\alpha }(x,y) \!-\! {G_\alpha }({x^{\bar \lambda }},y{\rm{))(}}{v^p}(y)\! -\! v_{\bar \lambda }^p(y)){\rm{d}}y} + \\ &A\int_{{\Omega _{\bar \lambda }}} {({G_\alpha }(x,y) - {G_\alpha }({x^{\bar \lambda }},y))} {v^p}(y){\rm{d}}y < 0 \end{split} $

      类似可得:

      $ \tag{2.23}v(x) - {v_{\bar \lambda }}(x) < 0, \forall x \in {\Sigma _{\bar \lambda }}$

      $B_{\bar \lambda }^u = \{ x \in {\Sigma _{\bar \lambda }} {\rm{|}} u(x) - u({x^{\bar \lambda }}) \geqslant 0\} $以及$B_{\bar \lambda }^v = \{ x \in $$ {\Sigma _{\bar \lambda }}| v(x) - v({x^{\bar \lambda }})\geqslant0\} $,则由(2.22)和(2.23)可得对任意$\lambda \in (\bar \lambda,\bar \lambda + \varepsilon )$

      $ \tag{2.24}\mu (B_{\bar \lambda }^u) = 0,\mathop {{\rm{ limsup}}}\limits_{\lambda \to \bar \lambda } \Sigma _\lambda ^u \subset B_{\bar \lambda }^u$

      $ \tag{2.25}\mu (B_{\bar \lambda }^v) = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim \sup }\limits_{\lambda \to \bar \lambda } \Sigma _\lambda ^v \subset B_{\bar \lambda }^v$

      根据(2.19)和(2.20)有

      $ \tag{2.26}{\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}} \leqslant C\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1}\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}{\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}}$

      $ \tag{2.27}{\left\| {v - {v_\lambda }} \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}} \leqslant C\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1}{\left\| {v - {v_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^v)}}{\rm{ }}$

      可积条件$u \in {L^a}(\Omega ),{\rm{ }}v \in {L^b}(\Omega )$和(2.24),(2.25)确保我们可以选择充分小的$\varepsilon > 0$使得对所有的$\lambda \in ({\lambda _0},{\lambda _0} + \varepsilon )$$\mu (\Sigma _\lambda ^u),\mu (\Sigma _\lambda ^v)$足够小且

      $ \tag{2.28}C\left\| u \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u)}^{q - 1}\left\| v \right\|_{{L^b}(\Sigma _\lambda ^v)}^{p - 1} \leqslant \frac{1}{2}$

      因此,由(2.26)~(2.28)可知

      $ {\left\| {u - {u_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^u) = 0}},{\left\| {v - {v_\lambda }} \right\|_{{L^a}(\Sigma _\lambda ^v) = 0}} $

      从而$\mu (\Sigma _\lambda ^u) = 0$$\mu (\Sigma _\lambda ^v) = 0$,即存在$\varepsilon > 0$使得

      $ \tag{2.29} \omega _\lambda ^u \geqslant 0,\omega _\lambda ^v \geqslant 0,x \in {\Sigma _\lambda },\bar \lambda < \lambda < \bar \lambda + \varepsilon < \hat \lambda $

      这说明平面可往右再移动一段距离,这与$\bar \lambda $的定义相矛盾。

      证毕。

      引理2.4 ${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' = \Omega $,对任意的$x \in {\Sigma _{\hat \lambda }}$$u(x) = {u_{\hat \lambda }}(x),v(x) = {v_{\hat \lambda }}(x)$

      证明 分两种情形进行证明。

      情形(1)。$\Sigma _{\lambda,t}'$$\partial {\Omega _t}$内切于某一点$(\hat z,t) \notin {T_\lambda }$,其中$\hat z \in \partial D \subset {R^{n - 1}}$

      反证法。如果${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' \ne \Omega $,则${\Omega _{\hat \lambda }} \ne \varphi $。由引理2.1和2.3可知

      $ \tag{2.30}u(x)\! -\! u({x^{\hat \lambda }}) \!\leqslant\! A\int_{{\Omega _{\hat \lambda }}} {({G_\alpha }(x,y)\! -\! {G_\alpha }({x^{\hat \lambda }},y))} {v^p}(y)dy \!< \!0,\forall x \!\in\! {\Sigma _{\hat \lambda }}$

      注意到$({\hat z^{\hat \lambda }},t) \in \partial {\Sigma _{\hat \lambda,t}}\backslash {T_{\hat \lambda }},{\rm{ }}(\hat z,t) \in \partial \Sigma _{\hat \lambda,t}'\backslash {T_{\hat \lambda }}$,用$({\hat z^{\hat \lambda }},t)$$(\hat z,t)$分别替换$x$${x^{\hat \lambda }}$,由(2.30)可得

      $ \tag{2.31}u({\hat z^{\hat \lambda }},t) - u(\hat z,t) < 0$

      又因为$({\hat z^{\hat \lambda }},t) \in \partial {\Omega _t},{\rm{ }}(\hat z,t) \in \partial {\Omega _t}$,由问题(1.8)、(1.10)的边界条件得

      $u({\hat z^{\hat \lambda }},t) = u(\hat z,t) = {C_1}(t)$

      这与(2.31)矛盾。对于$v(x)$,也可推出相同的矛盾。

      情形(2)。${T_\lambda }$$\partial {\Omega _t}$正交于某一点$(\hat z,t)$,其中$\hat z \in \partial D \subset {R^{n - 1}}$

      由边界条件和$\partial D \in {C^{\rm{1}}}$可知

      $ \tag{2.32}\frac{{\partial u(\hat z,t)}}{{\partial {x_1}}} = 0,{\rm{ }}\forall t \in {R_ + }$

      假设${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' \ne \Omega $,则${\Omega _{\hat \lambda }} \ne \varphi $,即对任意$t \in {R_ + }$${\Omega _{\hat \lambda,t}} \ne \varphi $,故存在一个球${B_t} \subset {\Omega _{\hat \lambda,t}}$。令${\rm{\{ }}x_t^m{\rm{\} }}_{\rm{0}}^\infty \subset$$ \partial {\Sigma _{\hat \lambda,t}}\backslash {T_{\hat \lambda }}$满足当$m \to \infty $$x_t^m \to (\hat z,t)$。注意到${B_t}$$(\hat z,t)$的右端,不妨设${B_t}$${\rm{\{ }}{(x_t^m)^{\hat \lambda }}\} _0^\infty $的右端。具体而言,假设存在$\delta > 0$使之对任意${(x_t^m)^{\hat \lambda }} = ((x_t^m)_1^{\hat \lambda },(x_t^m)_2^{\hat \lambda }, $$\cdots,(x_t^m)_n^{\hat \lambda })$$y = ({y_1},{y_2}, \cdots,{y_n})$都有${y_1} - (x_t^m)_1^{\hat \lambda } > \delta $,其中$(x_t^m)_n^{\hat \lambda } = {y_n} = t$

      对任意的$y \in {B_t}$$x_t^m \in \partial {\Sigma _{\hat \lambda,t}}\backslash {T_{\hat \lambda }}$,由于$ \phi (x_t^m,y) =$$ \phi ({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y) = 4{t^2}$,根据(2.9)、(2.16)和中值定理可得

      $ \tag{2.33}\begin{split} &{G_\alpha }({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y) - {G_\alpha }(x_t^m,y) = {H_\alpha }(d({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y),\\ &\phi ({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y)) - {H_\alpha }(d(x_t^m,y),\phi (x_t^m,y)) = \\ & - \frac{{\partial {H_\alpha }}}{{\partial d}}(d(\bar x_t^m,y),4{t^2})[d(x_t^m,y) - d({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y)] = \\ &\frac{{n - \alpha }}{2}\left( {d{{(\bar x_t^m,y)}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} - {{(d(\bar x_t^m,y) + 4{t^2})}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}}} \right)\\ &\left[ {|x_t^m - y{|^2} - |{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} - y{|^2}} \right] \end{split} $

      其中$\bar x_t^m$介于$x_t^m$${(x_t^m)^{\hat \lambda }}$之间。显然,直接计算有

      $ \tag{2.34}\begin{split}&\left[ {|x_t^m - y{|^2} - |{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} - y{|^2}} \right] = 2({y_1} - \hat \lambda )((x_t^m)_1^{\hat \lambda } - {(x_t^m)_1}) \\&\geqslant 2\delta {\rm{|}}{(x_t^m)^{\hat \lambda }} - x_t^m{\rm{|}}\end{split}$

      另有

      $ \tag{2.35}\begin{split} &\frac{{n - \alpha }}{2}\left( {d{{(\bar x_t^m,y)}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} - {{(d(\bar x_t^m,y) + 4{t^2})}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}}} \right) = \frac{{n - \alpha }}{2}\\ &\left( {{{\left( {|\bar x_{\bar t}^m \!-\! y{|^2}} \right)}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}} - {{\left( {|{{(\bar x_t^m)}^*} \!-\! y{|^2}} \right)}^{ - \frac{{n - \alpha + 2}}{2}}}} \right) \!=\! \frac{{(n - \alpha )(n - \alpha + 2)}}{4}\\ &{\left( {|\bar x_{\bar t}^m - y{|^2}} \right)^{ - \frac{{n - \alpha + 4}}{2}}}\left( {|\bar x_{\bar t}^m - y{|^2} - |{{(\bar x_t^m)}^*} - y{|^2}} \right) = \\ &{\rm{(}}n - \alpha )(n - \alpha + 2){t^2}\frac{1}{{|\bar x_{\bar t}^m - y{|^{n - \alpha + 4}}}} \end{split}$

      其中$\bar x_{\bar t}^m$介于$\bar x_t^m$${(\bar x_t^m)^{\rm{*}}}$之间。显然,${B_t}$$\{ \bar x_{\bar t}^m\} _0^\infty $的右端。

      将(2.34)、(2.35)代入(2.33)得:

      $ \tag{2.36}\begin{split}&{G_\alpha }({(x_t^m)^{\hat \lambda }},y) - {G_\alpha }(x_t^m,y) \geqslant \\&2\delta (n - \alpha )(n - \alpha + 2){t^2}\frac{{|{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} - x_t^m|}}{{|\bar x_{\bar t}^m - y{|^{n - \alpha + 4}}}}\end{split}$

      根据引理2.1,可得

      $\begin{gathered} u({(x_t^m)^{\hat \lambda }} \!-\! u(x_t^m)\! \geqslant \!A\int_{{\Omega _{\hat \lambda }}} {\left( {{G_\alpha }({{(x_t^m)}^{\hat \lambda }},y) \!-\! {G_\alpha }(x_t^m,y)} \right)} {v^p}(y){\rm{d}}y \!\geqslant \! \\ A\int_{{B_t}} {2\delta (n \!-\! \alpha )(n \!-\! \alpha + 2){t^2}\frac{1}{{|\bar x_{\bar t}^m \!-\! y{|^{n \!-\! \alpha + 4}}}}|{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} \!-\! x_t^m|{v^p}(y){\rm{d}}y} \\ \end{gathered} $

      $\begin{split}&\frac{{u({{(x_t^m)}^{\hat \lambda }}) - u(x_t^m)}}{{|{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} - x_t^m|}} \geqslant\\& A\int_{{B_t}} {2\delta (n - \alpha )(n - \alpha + 2){t^2}\frac{1}{{|\bar x_{\bar t}^m - y{|^{n - \alpha + 4}}}}{v^p}(y){\rm{d}}y} \end{split}$

      由上式可知

      $\mathop {\lim \inf }\limits_{m \to \infty } \frac{{u({{(x_t^m)}^{\hat \lambda }}) - u(x_t^m)}}{{|{{(x_t^m)}^{\hat \lambda }} - x_t^m|}} > 0$

      这与(2.32)相矛盾。

      综上,当$\bar \lambda = \hat \lambda $时有${\Omega _{\hat \lambda }} = \varphi $,故区域$\Omega $关于${T_{\hat \lambda }}$轴对称且(2.12)成立。反方向移动平面,也可得到相应结果(可类似证明$v(x)$)。从而对$\forall x \in {\Sigma _{\hat \lambda }}$$u({x^{\hat \lambda }}) = $$ u(x)$$v({x^{\hat \lambda }}) = v(x)$

      证毕。

    • 利用移动平面法证明定理1.2,首先选择移动平面${T_\lambda }$满足${T_\lambda }$平行于条件(2)中给定的超平面$T$,不妨记${\rm T} = {{\rm T}_0} = \{ x \in R_ + ^n|{x_1} = 0\} $。注意到,条件(2)告知$\Gamma $包含一个帽$\gamma $,不失一般性假设帽$\gamma $${{\rm T}_0}$的左端。

      ${T_{{\lambda _{\rm{0}}}}}$开始往右连续移动平面${T_\lambda }$,维持$\Sigma _\lambda' \subseteq \Omega $直到情形(1)或(2)出现。

      由于$D$是有界光滑凸集,故当$\lambda \in ({\lambda _0},\hat \lambda ]$${\Sigma _\lambda }$是连通的,且

      $ \tag{3.1}u(x) = {C_1}(t),{\rm{ }}v(x) = {C_2}(t),{\rm{ }}x \in \partial {\Sigma _{\lambda,t}}\backslash {T_\lambda } \subset {\Gamma _t}$

      其中$t \in {R_t}$${\Gamma _t} = \{ x = ({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})\left| {({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{n - 1}})} \right. \in \Gamma , $${x_n} = t\} $

      首先,引理2.2~2.3的证明没有涉及边界条件,从而对于部分超定问题引理2.2~2.3依然成立,即对所有的$\lambda \in ({\lambda _0},\hat \lambda ]$仍然有

      $ \tag{3.2}\omega _\lambda ^u(x) = u({x^\lambda }) - u(x) \ge {\rm{0}},{\rm{ }}\omega _\lambda ^v(x) = v({x^\lambda }) - v(x) \ge {\rm{0}},\;\;x \in {\Sigma _\lambda }$

      与引理2.4类似,我们将证明区域$\Omega $关于${T_\lambda }$对称。

      引理3.1 ${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' = \Omega $,即$\partial \Omega = (\partial {\Sigma _{\hat \lambda }}\backslash {{\rm T}_{\hat \lambda }}) \cup$$ (\partial {\Sigma _{\hat \lambda '}}\backslash {{\rm{T}}_{\hat \lambda }})$

      证明 分2种情况进行说明:

      1)$\Sigma _{\lambda,t}'$$\partial {\Omega _t}$内切于某一点$(\hat z,t) \notin {T_\lambda }$,其中$\hat z \in \partial D \subset {R^{n - 1}}$

      反证法。若${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' \ne \Omega $,即${\Omega _{\hat \lambda }} \ne \varphi $。由(3.2)得$u(y) < u({y^{\hat \lambda }}),{\rm{ }}$$y \in {\Sigma _{\hat \lambda }}$。设$({\hat z^{\ddot \lambda }},\bar t)$$(\hat z,\bar t)$关于${T_{\hat \lambda }}$的对称点,从(3.1)可推出

      $({\hat z^{\hat \lambda }},\bar t) \in \partial {\Sigma _{\hat \lambda,\bar t}}\backslash {T_{\hat \lambda }} \subset {\Gamma _{\bar t}}$

      由引理2.1有

      $ \tag{3.3}\begin{split}&u({{\hat z}^{\hat \lambda }},\bar t) - u(\hat z,\bar t) \leqslant A\int_{{\Omega _{\hat \lambda }}} {\left( {{G_\alpha }} \right.\left. {(({{\hat z}^{\hat \lambda }},\bar t),y} \right)}\\&- {G_\alpha }((\hat z,\bar t),y)){v^p}(y){\rm{d}}y < 0,\forall x \in {\Sigma _{\hat \lambda }}\end{split}$

      对于$\hat z \in \partial D$,有2种情形:

      (1)若$\hat z \in \Gamma \subset \partial D$,则${\hat z^{\hat \lambda }},{\rm{ }}\hat z \in \Gamma $$({\hat z^{\hat \lambda }},\bar t),{\rm{ }}u(\hat z,\bar t) \in {\Gamma _{\bar t}}$,所以$u({\hat z^{\hat \lambda }},\bar t) = u(\hat z,\bar t)$,这和(3.3)矛盾。

      (2)若$\hat z \in \partial D\backslash \Gamma $,则(3.3)推出$u$在边界$\partial D$上的最大值不在$\Gamma $上达到,这与定理1.2的条件(3)矛盾。

      类似可以推出解$v(x)$的相应结果。

      2)在某点$(\hat z,t)$${T_\lambda }$$\partial {\Omega _t}$正交,其中$\hat z \in \partial D \subset $${R^{n - 1}}$

      注意到$\Gamma $为开集且$\hat z \in \Gamma $,根据部分边值条件,有

      $\frac{{\partial u(\hat z)}}{{\partial {x_1}}} = 0,{\rm{ }}\frac{{\partial v(\hat z)}}{{\partial {x_1}}} = 0$

      再次重复定理1.1的相关证明,同样可导出矛盾。

      综上,${\Omega _\lambda }$为空集,即${\Sigma _{\hat \lambda }} \cup (\Omega \cap {T_{\hat \lambda }}) \cup \Sigma _{\hat \lambda }' = \Omega $,故$\partial \Omega = (\partial {\Sigma _{\hat \lambda }}\backslash {{\rm T}_{\hat \lambda }}) \cup (\partial \Sigma _{\hat \lambda }'\backslash {{\rm T}_{\hat \lambda }})$

      证毕。

      引理3.2 存在$\bar t \in (0, + \infty )$使得对$\forall x \in \partial {\Omega _t}$$u\left( x \right) = $${C_1}(\bar t)$$v\left( x \right) = {C_2}(\bar t)$

      证明 由上述引理3.1的结果可知${\Omega _{\hat \lambda }}$为空集。注意到对任意的$y \in {\Sigma _{\hat \lambda }}$,有${u^p}(y) < {u^p}({y^{\hat \lambda }})$,由引理2.1得

      $ \tag{3.4}\begin{gathered} u(x) \!\!-\!\! u({x^\lambda }{\rm{) }} \!\!=\!\! A\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\alpha }(x,y) \!\!-\!\! {G_\alpha }({x^\lambda },y))({v^p}(y) \!\!-\!\! v_\lambda ^p(y)){\rm{d}}y} \!\!\leqslant\!\! 0 \\ v(x) \!\!-\!\! v({x^\lambda }{\rm{) }} \!\!=\!\! B\int_{{\sum _\lambda }} {({G_\beta }(x,y) \!\!-\!\! {G_\beta }({x^\lambda },y))({u^q}(y) \!\!-\!\! u_\lambda ^q(y)){\rm{d}}y} \!\!\leqslant\!\! 0 \\ \end{gathered} $

      选择$\bar t \in (0,\varepsilon )$,对任意的$x \in \partial {\Omega _{\bar t}}\backslash {\Gamma _{\bar t}}$,有${x^{\hat \lambda }} \in {\Gamma _{\bar t}}$

      $ \tag{3.5}u({x^{\hat \lambda }}) - u(x) = {C_1}(\bar t) - u(x) \leqslant 0,{\rm{ }}v({x^{\hat \lambda }}) - v(x) = {C_2}(\bar t) - v(x) \leqslant 0$

      $ \tag{3.6}u(x) \geqslant {C_1}(\bar t),{\rm{ }}v(x) \geqslant {C_2}(\bar t),{\rm{ }}x \in \partial {\Omega _{\bar t}}\backslash {\Gamma _{\bar t}}$

      由定理1.2的条件(3)和(3.6)可知:

      $\begin{split}&\mathop {\max }\limits_{\partial {\Omega _{\bar t}}\backslash {\Gamma _{\bar t}}} u(x) \leqslant \mathop {\max }\limits_{\partial {\Omega _{\bar t}}} u(x) = \mathop {\max }\limits_{{\Gamma _{\bar t}}} u(x) = {C_1}(\bar t) \mathop {\max }\limits_{\partial {\Omega _{\bar t}}\backslash {\Gamma _{\bar t}}} v(x) \leqslant\\& \mathop {\max }\limits_{\partial {\Omega _{\bar t}}} v(x) = \mathop {\max }\limits_{{\Gamma _{\bar t}}} v(x) = {C_2}(\bar t)\end{split}$

      $u(x) = {C_1}(\bar t),{\rm{ }}v(x) = {C_2}(\bar t),{\rm{ }}x \in \partial {\Omega _{\bar t}}\backslash {\Gamma _{\bar t}}$

      从而对所有的$x \in \partial {\Omega _{\bar t}}$,有$u(x) = {C_1}(\bar t)$$v(x) = {C_2}(\bar t)$

      证毕。

      引理3.2说明部分超定问题(1.8)、(1.14)即为完全超定问题,由第一个定理的结论可直接推出区域$\Omega $是圆柱且解$u,v$关于圆柱中心${l_d}$轴对称。定理1.2得证。

    • 对于上半空间无界柱形区域上的含Riesz位势积分方程组,如果方程组的解存在且满足所要求的可积性,本文不仅得到了标准超定问题区域和解的对称性,同时也证明了部分超定问题在特殊几何边界下相应的对称性结果,推广并改进了单个方程以及全空间问题的对称性结果。

参考文献 (9)

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