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输入饱和无人机的鲁棒组合非线性反馈控制

彭超凡 蒋沅 孟超 代冀阳

引用本文:
Citation:

输入饱和无人机的鲁棒组合非线性反馈控制

    通讯作者: 蒋沅; 
  • 中图分类号: TP273

Robust Compsite Nonlinear Feedback Control for Input Saturated UAV

    Corresponding author: Yuan JIANG
  • CLC number: TP273

  • 摘要: 实际场景中,控制器输入饱和和外部干扰是对无人机控制系统产生不利影响的2个主要因素。对此,本研究针对CE150无人机模型,先采用H理论设计线性控制器,并在此基础上引入能提高系统瞬态性能的非线性项构成组合非线性反馈控制技术(CNF)来改善输入饱和的问题。同时,设计观测器对未知干扰进行在线估值,并在原有的组合非线性反馈控制器中加入干扰补偿项以提高系统鲁棒性。仿真结果表明,与传统的线性控制器相比组合非线性反馈控制器能显著改善输入饱和的不利影响,而引入补偿项的CNF控制器在保留原始CNF控制器优点的同时能有效抑制外部干扰,实现了无人机对给定信号的准确跟踪。
  • 图 1  无人的俯仰角$\psi $

    图 2  无人机的方位角$\varphi $

    图 3  无人机的俯仰角$\psi $

    图 4  无人机的方位角

    图 5  控制输入${u_1}$

    图 6  控制输入${u_2}$

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-14
  • 录用日期:  2019-07-20
  • 刊出日期:  2019-09-01

输入饱和无人机的鲁棒组合非线性反馈控制

    通讯作者: 蒋沅; 
  • 南昌航空大学 信息工程学院,南昌 330063

摘要: 实际场景中,控制器输入饱和和外部干扰是对无人机控制系统产生不利影响的2个主要因素。对此,本研究针对CE150无人机模型,先采用H理论设计线性控制器,并在此基础上引入能提高系统瞬态性能的非线性项构成组合非线性反馈控制技术(CNF)来改善输入饱和的问题。同时,设计观测器对未知干扰进行在线估值,并在原有的组合非线性反馈控制器中加入干扰补偿项以提高系统鲁棒性。仿真结果表明,与传统的线性控制器相比组合非线性反馈控制器能显著改善输入饱和的不利影响,而引入补偿项的CNF控制器在保留原始CNF控制器优点的同时能有效抑制外部干扰,实现了无人机对给定信号的准确跟踪。

English Abstract

    • 无人机因其使用的便利性和用途的广泛性在军用和民用领域都有大量的应用[1]。无人机系统的多变量、非线性、强耦合、高阶次特性增加了无人机控制器的设计难度;而在实际飞行过程中,无人机系统会受到控制输入饱和、机身摩擦和外部气流扰动等的影响[2],这使得设计高性能无人机控制器变得极为困难。

      在无人机控制器的设计方面,PID控制器由于结构简单、易于实现,并且不依赖系统的精确模型,依然得以广泛应用[3]。但是传统PID控制精度不高,鲁棒性也不强,为此研究人员开发出了基于最优控制理论的线性二次型(LQR)[4]控制器。文献[5]在文献[4]的基础上将LQG和模糊控制相结合,利用模糊规则在线产生线性二次型高斯(LQG)的参数,提高了系统的响应速度和跟踪精度。智能蜂群算法具有全局寻优能力,利用该算法搜索LQG的最佳参数,从而实现误差积分(IAE)标准下的最优控制[6]。当系统存在不确定性和外部干扰时,可以将LQR控制器与输出调节理论相结合,利用同一个外部系统产生跟踪信号和干扰信号,再通过求解输出调解方程使得设计的LQR控制器能够消除外部干扰的影响[7]。对一个实际的无人机系统而言,控制输入会受到控制器物理性能的限制而无法达到理论中输入值,从而严重弱化控制器的性能,而上述文献中的算法均未对此加以考虑。此外,上述文献中的线性控制器无法根据需求自动重新设计系统的阻尼比,从而无法解决系统超调和调节时间对阻尼比要求相反的矛盾。

      组合非线性反馈控制技术(CNF)得益于非线性项的输入补偿,能有效降低输入饱和对系统的不利影响[8]。文献[9]利用CNF控制算法设计了直升机的控制器,实际的飞行数据对比显示了CNF控制算法的有效性和优越性。当存在外部干扰时,文献[10]通过在CNF控制器中引入积分环节从而削弱外部干扰,但是该方法只能处理定常干扰,对于时变干扰积分环节不再起作用。观测器可以实现对干扰项的在线重构,引入了观测器的鲁棒CNF(robust compsite nonlinear feedback,RCNF)控制器可以有效抑制时变干扰[11]。为了便于研究,上诉文献中的研究对象均被简化为单输入单输出系统或二阶系统,该算法在复杂系统中的应用还有待研究。本论文给出了多输入多输出系统的CNF和RCNF控制器的设计方法,并在理论上证明了RCNF控制器在多输入多输出系统中的适用性。最后,针对CE150无人机系统设计了上述两种控制器并进行了仿真验证,旨在探索提高复杂无人机控制系统性能的新方法,并拓宽CNF控制器的应用领域。

    • CE150无人直升机是瑞典Humusoft Ltd公司开发的一款教学用无人机实验平台。它固定在一个云台上,并由2个直流电机驱动的螺旋桨分别控制飞机的俯仰角和方位角。其非线性系统模型[7]为:

      $\dot x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}} \\ {{x_4}} \\ {f({x_1},x{}_2,{x_3},{x_7})} \\ { - \dfrac{1}{{{T_1}^2}}{x_2} - \dfrac{2}{{{T_2}^2}}{x_4}} \\ {{x_7}} \\ {{x_8}} \\ {f({x_1},{x_6},{x_7},{x_9})} \\ { - \dfrac{1}{{{T_2}^2}}{x_6} - \dfrac{2}{{{T_2}^{}}}{x_8}} \\ { - \dfrac{1}{{{T_{{\rm{pr}}}}}}} \end{array}} \right] + {{B}}(x)u,y = {{C}}x $

      (1 )

      式中:

      $\begin{array}{l} f({x_1},{x_2},{x_3},{x_7}) = \dfrac{1}{{{I_\Psi }}}[{a_1}{({x_2} + {{\bar u}_{{\rm{d}}1}})^2} + b({x_2} + {{\bar u}_{{\rm{d}}1}}) - \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {B_\Psi }{x_3} - {h_{\rm{g}}}\sin \;({x_1} + \bar \psi + \theta ) + \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {K_{\rm{G}}}\cos \;({x_1} + \bar \psi )({x_2} + {{\bar u}_{{\rm{d}}1}}){x_7}] \\ \end{array} $

      $ \begin{array}{l} f({x_1},{x_6},{x_7},{x_9}) = \dfrac{1}{{{I_{\rm{\varphi }}}\sin \;({x_1} + \psi )}}\Bigg\{ {a_2}{({x_6} + {\bar u_{{\rm{d2}}}})^2} + \\ \;\; {b_2}({x_6} + {\bar u_{{\rm{d2}}}}) - {B_{\rm{\varphi }}}{x_7} + {K_{\rm{r}}}\Bigg[\dfrac{{{T_{{\rm{or}}}}}}{{{T_{{\rm{pr}}}}}}({x_9} + {u_1}) + {\bar u_{{\rm{d1}}}}\Bigg]\Bigg\} \end{array} $

      $ \begin{array}{l} {{B}}(x) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&{\dfrac{1}{{{T_1}^2}}}&0&0&{{b_{71}}(x)}&0&{{b_{79}}} \\ 0&0&0&0&0&0&0&{\dfrac{1}{{{T_2}^2}}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $

      ${{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0&0 \end{array}} \right]$

      各状态变量所代表的量为:${x_1} = \psi - \bar \psi $${x_2} = {u_{{\rm{d1}}}}- $${\bar u_{{\rm{d1}}}} $${x_3} = {\rm{d}}\psi /{\rm{d}}t$${x_4} = {\rm{d}}{u_{{\rm{d1}}}}/{\rm{d}}t$${x_5} = \varphi - \bar \varphi $${x_6} = {u_{{\rm{d2}}}} - {\bar u_{{\rm{d2}}}}$${x_7} = {\rm{d}}\varphi /{\rm{d}}t$${x_9} = \varepsilon - \bar \varepsilon $。另外${b_{71}}(x) = \dfrac{{{K_{\rm{r}}}{T_{{\rm{or}}}}}}{{{I_\varphi }\sin \;({x_1} + \bar \psi ){T_{{\rm{pr}}}}}}$${b_{79}}(x) = \dfrac{1}{{{T_{{\rm{or}}}}}} - \dfrac{1}{{{T_{{\rm{pr}}}}}}$。上述式中$\psi $$\bar \psi $分别代表仰角的实际值和理想值,$\varphi $$\bar \varphi $分别代表方位角的实际值和理想值;${u_{{\rm{d1}}}}$${\bar u_{{\rm{d1}}}}$${u_{{\rm{d2}}}}$${\bar u_{{\rm{d2}}}}$分别表示主、副电机的实际电压和理想电压;$\varepsilon $代表主螺旋桨的状态。将系统线性化可得系统矩阵${{A}}$为:

      ${{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0 \\ { - \dfrac{{ {h_{\rm{g}}}\cos \;(\bar \psi + \theta )}}{{{I_\varphi }}}}&{\dfrac{{2{a_1}{{\bar u}_{{\rm{d1}}}} + {b_1}}}{{{I_\varphi }}}}&{-\dfrac{{ {B_\varphi }}}{{I{}_\varphi }}\;}&0&0&0&{ -\dfrac{{ {K_{\rm{G}}}{{\bar u}_{{\rm{d1}}}}\cos \;\bar \psi }}{{{I_\varphi }}}}&0&0 \\ 0&{- \dfrac{{ 1}}{{T_1^2}}}&0&{ -\dfrac{{ 2}}{{T_1^2}}}&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&{\dfrac{{2{a_2}{{\bar u}_{{\rm{d2}}}} + {b_2}}}{{{I_\varphi }\sin \;(\psi )}}}&{ - \dfrac{{{B_\varphi }}}{{{I_\varphi }\sin \;\psi }} }&0&{\dfrac{{{K_{\rm{r}}}{T_{{\rm{or}}}}}}{{{T_{{\rm{pr}}}}{I_\varphi }\sin \;\psi }}} \\ 0&0&0&0&0&{ - \dfrac{{1}}{{T_2^2}}}&0&{ -\dfrac{{ 2}}{{T_2^2}}}&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&{ - \dfrac{{1}}{{{T_{{\rm{pr}}}}}}} \end{array}} \right]$

    • 考虑如下输入饱和的多输入多输出系统:

      $\begin{split} & \dot x = {{A}}x + {{B}}sat(u) + {{E}}v \\ & y = {{{C}}_1}x \\ & h = {{{C}}_2}x \\ \end{split} $

      (2)

      其中,$x \in {R^n}$是系统状态,$v \in {R^p}$是系统的外部干扰,$y \in {R^m}$是系统的控制输出,$h \in {R^q}$是系统的测量输出。${{A}}$${{B}}$${{E}}$${{{C}}_1}$${{{C}}_2}$为维度适当且相互兼容的系数矩阵。${\rm{sat}}(u)$为系统的饱和控制输入,定义为:

      $sat({u_i}) = \operatorname{sgn} ({u_i}){\text{•}}\min \{ {u_{i,\max,}}\left| {{u_i}} \right|\} $

      (3)

      式中:${u_{i,\max }}$表示第$i$个输入的最大值。为了设计鲁棒CNF控制器做出如下假设:

      1)矩阵(${{A}}$${{B}}$)稳定,(${{A}}$${{{C}}_1}$)能观;

      2)系统(${{A}}$${{B}}$${{{C}}_1}$)没有零点位于虚轴,并且干扰$v$的变化率有界。

      鲁棒CNF控制器的设计主要分为3步。具体步骤如下:

      步骤1:设计CNF控制器[12]和干扰补偿项

      $ \begin{split} \;\\ {u_L} = {{F}}x + {{G}}{\rm{r}} + {{{F}}_{\rm{v}}}v + \rho (r,y){{{B}}^{\rm{T}}}{{P}}(x - {x_{\rm{e}}}) \end{split} $

      (4)

      式中,$r$是给定的参考输入,${{F}}$是线性反馈增益矩阵,${{G}}$是系统前馈补偿矩阵

      ${{G}} = - {[{{{C}}_1}{({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{B}}]^{ - 1}}$

      (5)

      ${{{F}}_{\rm{v}}}$是干扰补偿矩阵,可以设计为:

      ${{{F}}_{\rm{v}}} = - {[{{{C}}_1}{({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{B}}]^{ - 1}}[{{{C}}_{ - 1}}{({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{E}}]$

      (6)

      矩阵${{P}}$是如下Lyapunov方程的唯一正定解

      ${({{A}} + {{BF}})^{\rm{T}}}{{P}} + {{P}}({{A}} + {{BF}}) = - {{W}}$

      (7)

      ${{W}}$是选定的正定加权矩阵。${x_{\rm{e}}}$是系统状态的期望值,定义为:

      $ {x_{\rm{e}}} = - {({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{BG}}r $

      (8)

      非线性负定函数$\rho \left( {r,y} \right)$的选取需要满足局部Lipschitz条件,常用的非线性函数形式[13]如下:

      $\rho \left( {r,y} \right) = - \beta {e^{\alpha {\alpha _0}\left| {r - y} \right|}}$

      (9)

      步骤2:设计干扰观测器

      对于如(2)所示且满足假设1)~4)的系统,可设计如下所示的干扰观测器:

      $\begin{split} & \hat v = s + {{L}}x \\ & \dot s = - {{LE}}(s + {{L}}x) - {{L}}[{{A}}x + {{B}}sat(u)] \\ \end{split} $

      (10)

      式中:$\hat v$是干扰$v$的估值,${{s}}$为辅助向量。矩阵${{L}}$要保证$ - {{LE}}$是Hurwitz矩阵

      步骤3:将CNF控制器和干扰补偿项组合在一起便构成了新型的鲁棒CNF控制器:

      $u = {{F}}x + {{G}}r + {{{F}}_{\rm{v}}}\hat v + \rho (r,y){{{B}}^{\rm{T}}}{{P}}(x - {x_e})$

      (11)

      鲁棒CNF控制器下的系统稳定性证明如下:

      先做如下的推论:令${{{A}}_{\rm{v}}} = {{B}}{{{F}}_{\rm{v}}}$${{\bar{ A}}_{\rm{v}}} = - {{LE}}$,由于矩阵${{\bar{ A}}_{\rm{v}}}$是Hurwitz矩阵,则一定存在正定矩阵${{{W}}_{\rm{Q}}} \in {R^n}$且满足${{{W}}_{\rm{Q}}} > {{A}}_{\rm{v}}^{\rm{T}}{{P}}{{{W}}^{ - 1}}{{P}}{{{A}}_{\rm{v}}}$使得如下Lyapunov方程获得唯一正定解${{Q}}$

      ${\bar{ A}}_{\rm{v}}^{\rm{T}}{{Q}} + {{Q}}{{\bar{ A}}_{\rm{v}}} = - {{{W}}_{\rm{Q}}}$

      (12)

      定理 假设以下条件成立:

      1)存在$\delta \in \left( {0,1} \right)$$c > 0$满足如下约束:

      $\begin{array}{l} {[x,v]^{\rm{T}}} \in {{{L}}_{\rm{v}}}(c) = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ v \end{array}} \right]\left| {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ v \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P}}&0 \\ 0&{{Q}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ v \end{array}} \right] \leqslant c} \right.} \right\} \\ \Rightarrow \left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{F}}_i}}&{{{{F}}_{{\rm{v}}i}}} \end{array}} \right]{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&v \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}} \right| \leqslant (1 - \delta ){u_{i,\max }},i = 1,2, \cdots,n \\ \end{array} $

      (13)

      式中,${{{L}}_{\rm{v}}}(c)$是稳定吸引域的不变集,$c$是椭球吸引域半径。${{{F}}_i}$${{{F}}_{{\rm{v}}i}}$分别是${{F}}$${{{F}}_{\rm{v}}}$的第$i$行向量,${u_{i,\max }}$代表第$i$个控制输入的最大值。

      2)初始向量${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x(0)}&{s(0)} \end{array}} \right]^T}$满足

      $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x(0) - {x_{\rm{e}}}(0)} \\ {{s_0} - ( - {{L}}x(0) + \hat v(0))} \end{array}} \right] \in {{{L}}_{\rm{v}}}(c)$

      (14)

      式中,${x_{\rm{e}}}(0) = {{{G}}_{\rm{e}}}r(0),{{{G}}_{\rm{e}}} = - {({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{BG}} $

      3)给定参考输入$r$和有界干扰$v$满足

      $\left| {{{H}}r} \right| + \left| {{{{F}}_{\rm{v}}}v} \right| \leqslant \delta {u_{\max }}$

      (15)

      式中,${{H}} = [{{I}} - {{F}}{({{A}} + {{BF}})^{ - 1}}{{B}}]{{G}}$

      那么,RCNF控制器式(11)能使系统式(2)的控制输出$y$收敛到给定参考输入$r$

      证明:定义干扰观测误差$\tilde v = \hat v - v$,根据式(10)可得:

      ${\dot {\tilde v}} = {\dot {\hat v}} - \dot v = \dot s + {{L}}\dot x - \dot v = - {{LE}}\tilde v - \dot v$

      (16)

      定义状态误差$\tilde x = x - {x_{\rm{e}}}$,其中${x_{\rm{e}}} = {{{G}}_{\rm{e}}}r$,则有:

      ${\dot {\tilde x}} = ({{A}} + {{BF}})\tilde x + {{{A}}_{\rm{v}}}\tilde v + {{B}}\eta $

      (17)

      式(17)中的$\eta $定义为$\eta = {\rm{sat}}({k_i} + {\rho _i}{\upsilon _i}) - {k_i}$,其中${\upsilon _i}$代表${{{B}}^{\rm{T}}}{{P}}\tilde x$的第$i$个元素,${k_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{F}}_i}}&{{{{F}}_{{\rm{v}}i}}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x}&{\tilde v} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} +$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{H}}_i}}&{{{{F}}_{vi}}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&v \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$。由于系统控制输入$u$受饱和限制,故$\eta $具有以下性质:

      $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _i}{\upsilon _i} < \eta < 0, {u_i} < - {u_{i,\max }}} \\ {\eta = {\rho _i}{\upsilon _i}, \left| {{u_i}} \right| \leqslant {u_{i,\max }}} \\ {0 < \eta < {\rho _i}{\upsilon _i} {u_i} > {u_{i,\max }}} \end{array}} \right.$

      (18)

      定义${q_i} \in [0,1]$,则式(18)中的3种情况可以表示为:

      $\eta = {q_i}{\rho _i}{\upsilon _i}$

      (19)

      当干扰变化率很小,即$\dot v \approx 0$时,定义Lyapunov函数

      $V = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x} \\ {\tilde v} \end{array}} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P}}&0 \\ 0&{{Q}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x} \\ {\tilde v} \end{array}} \right]$

      (20)

      对任意的${\left[ {\tilde x,\tilde v} \right]^T} \in {{{L}}_{\rm{v}}}(c)$,式(20)中的Lyapunov函数$V$沿系统式(2)轨迹的时间导数为:

      $\begin{split} \dot V =& {\left[ \begin{array}{l} {\dot {\tilde x}}\\ {\dot {\tilde v}} \end{array} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {W} + 2{{P\bar P}}}&{{{P}}{{{A}}_{\rm{V}}}}\\ {{{{A}}_{\rm{V}}}^{\rm{T}}{{P}}}&{ - {{{W}}_{\rm{Q}}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {\tilde x}\\ {\tilde v} \end{array} \right] \leqslant \\ &{\left[ \begin{array}{l} {\tilde x}\\ {\tilde v} \end{array} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{W}}}&{{{P}}{{{A}}_{\rm{V}}}}\\ {{{{A}}_{\rm{V}}}^{\rm{T}}{{P}}}&{ - {{{W}}_{\rm{Q}}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {\tilde x}\\ {\tilde v} \end{array} \right] = \\ &{\left[ \begin{array}{l} {{\tilde x}_ \bot }\\ {\tilde v} \end{array} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{W}}}&0\\ 0&{ - {{{{\bar W}}}_{\rm{Q}}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {{\tilde x}_ \bot }\\ {\tilde v} \end{array} \right] \end{split} $

      (21)

      式中:${\bar{ P}} = q\rho {{B}}{{{B}}^{\rm{T}}}{{P}} > 0$${\tilde x_ \bot } = \tilde x - {{{W}}^{ - 1}}{{P}}{{{A}}_{\rm{v}}}\tilde v$${{\bar{ W}}_{\rm{Q}}} = {{{W}}_{\rm{Q}}} - $${{{A}}_{\rm{v}}}^{\rm{T}}{{P}}{{{W}}^{ - 1}}{{P}}{{{A}}_{\rm{v}}} > 0$,故有$\dot V < 0$,即系统渐进稳定。当干扰$v$的变化率并不为零且有界时,由献[14]可知,通过设计适当的吸引域半径,${\left[ {\tilde x,\tilde v} \right]^{\rm{T}}}$最终仍能收敛到原点,即

      $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x(t)}&{\tilde v(t)} \end{array}} \right] = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } x(t) = {x_{\rm{e}}}$

      (22)

      进而可得:

      $\mathop {\lim }\limits_{t \to } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {C_1}x(t) = r(t)$

      (23)

      说明设计的鲁棒CNF控制器可以使渐进稳定,并使控制输出$y$准确跟踪到给定输入$r$,证毕。

    • 设定无人直升机的理想俯仰角$\bar \psi = {90^ \circ }$,理想方位角$\bar \varphi = {100^ \circ }$,对应的主副电机的电压为${\bar u_{{\rm{d1}}}} = 0.856\;{\rm{V}}$${\bar u_{d2}} = - 0.379\;{\rm{V}}$。其它参数通过测量可得:${I_\psi } = 0.003$${B_\psi } = 0.003$${h_{\rm{g}}} = 0.0726$${{\rm{a}}_{\rm{1}}} = 0.096$${a_2} = - 0.450$${b_1} = 0.059$$b{}_2 = - 0.080$${I_\varphi } = 0.0025$${T_1} = 0.1$${T_2} = 0.2$${K_{\rm{G}}} = 0.013$。于是可得系统矩阵${{A}}$和控制矩阵${{B}}$分别为:

      ${{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0 \\ {3.15}&{39.1}&{ - 1.18}&0&0&0&0&0&0 \\ 0&{ - 100}&0&{ - 20.0}&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&{105}&{ - 1.20}&0&{0.378} \\ 0&0&0&0&0&{ - 25.0}&0&{ - 10.0}&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&{ - 0.05} \end{array}} \right]$

      ${{B}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&{100}&0&0&{0.378}&0&{3.28} \\ 0&0&0&0&0&0&0&{25.0}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$

      考虑系统耦合再结合${H_\infty }$理论,可得系统解耦的并满足条件1)~2)的线性反馈增益矩阵

      $ {{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 11.5}&{ - 10.7}&{ - 2.35}&{ - 0.305}&{ - 0.123}&{ - 0.054\;2}&{ - 0.010\;4}&{ - 0.001\;29}&{ 0.000\;11} \\ {0.172}&{0.231}&{0.045\;3}&{0.009\;32}&{ - 10}&{ - 20.8}&{ - 1.87}&{ - 0.950}&{ - 0.078\;4} \end{array}} \right] $

      选定正定矩阵${{W}} = {{{I}}_{9 \times 9}}$,求解Lyapunov方程(7)可得:

      ${{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {18.97}&{15.71}&{3.66}&{0.07}&{0.09}&{ - 0.06}&{ - 0.00}&{0.00}&{ - 1.71} \\ {15.71}&{24.31}&{4.15}&{0.34}&{0.01}&{ - 0.18}&{ - 0.02}&{ - 0.00}&{ - 6.70} \\ {3.66}&{4.15}&{0.92}&{0.04}&{0.01}&{ - 0.03}&{ - 0.00}&{ - 0.00}&{ - 0.92} \\ {0.07}&{0.34}&{0.04}&{0.02}&{ - 0.01}&{ - 0.01}&{ - 0.00}&{ - 0.00}&{ - 0.33} \\ {0.09}&{0.01}&{0.01}&{ - 0.01}&{7.51}&{6.82}&{0.99}&{0.00}&{0.03} \\ { - 0.06}&{ - 0.18}&{ - 0.03}&{ - 0.01}&{6.82}&{25.99}&{2.13}&{0.41}&{0.10} \\ { - 0.00}&{ - 0.02}&{ - 0.00}&{ - 0.00}&{0.99}&{2.13}&{0.27}&{0.02}&{0.01} \\ {0.00}&{ - 0.00}&{ - 0.00}&{ - 0.00}&{0.00}&{0.41}&{0.02}&{0.03}&{0.00} \\ { - 1.71}&{ - 6.70}&{ - 0.92}&{ - 0.33}&{0.03}&{0.10}&{0.01}&{0.00}&{10.00} \end{array}} \right]$

      在以往的研究中很少考虑系统输入饱和对控制器性能的影响,为了研究输入饱和对控制器性能的限制,同时验证组合非线性反馈控制技术对输入饱和的改善作用,先不考虑系统外部干扰的影响,即令${{E}} = {0_{9 \times 2}}$。设定控制输入的最大限值

      ${u_{i,\max }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{1,\max }}} \\ {{u_{2,\max }}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {30} \\ {200} \end{array}} \right]$

      (24)

      无人的初始状态设定为$x(0) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}0 & 0 & 0 & 0\end{array}} \right.$${\left. {\begin{array}{*{20}{l}}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}} \right]^{\rm{T}}}$,仿真结果如图1图2所示。图1图2分别代表系统在线性控制律、输入饱和线性控制律、输入饱和CNF控制律的作用下,无人俯仰角和方位角的控制输出。从图中可以看出控制输入的饱和会造成控制器性能的弱化,导致控制输出的调节时间变长、超调变大。而CNF控制器能够克服系统输入饱和的影响,调节时间和超调均优于线性控制器。

      图  1  无人的俯仰角$\psi $

      图  2  无人机的方位角$\varphi $

      原始的组合非线性反馈控制器鲁棒性不强,当系统的外部干扰过大时系统无法实现对干扰的抑制,甚至失去稳定性。这时,需要加入干扰补偿项,构成如式(11)所示的RCNF控制器。设定幅值为参考输入10%的时变干扰:${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {9\sin \;(2{\text{π}} t)}&{10\cos \;(2{\text{π}} t)} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$,同时令:${{E}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$。根据式(6)得${{F}}{}_{\rm{v}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 0.299\;1}&{ - 0.000\;5} \\ {\;\;\;0.008\;0}&{ - 0.207\;6} \end{array}} \right]$,设计干扰观测器的反馈增益${{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0.01}&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&{0.001\;5}&0&0 \end{array}} \right]$,仿真结果如图3图4所示。图3图4分别是是无人机俯仰角和方位角在有干扰的情况下,分别通过RCNF控制器和原始CNF控制器的控制输出。从图中可以看出,原始CNF控制器对大幅值干扰失去了抑制作用,系统无法准确跟踪给定输入。而RCNF控制器能够成功抑制干扰,基本保持了原有的性能。

      图  3  无人机的俯仰角$\psi $

      图  4  无人机的方位角

      图5图6分别是存在干扰时,原始CNF和RCNF的控制输入${u_1}$${u_2}$。由仿真结果可以看出,在大幅值外部干扰的扰动作用下,原始CNF控制器的控制输入出现了连续抖动而无法稳定,失去了鲁棒性。而设计的新型RCNF控制器得益于补偿项的补偿,控制输入依然能够快速稳定,显示出了良好的鲁棒性。

      图  5  控制输入${u_1}$

      图  6  控制输入${u_2}$

    • 针对输入饱和的CE150无人直升机系统设计了变阻尼的组合非线性反馈控制器;同时,考虑实际场景中的干扰问题,设计了一类新型的鲁棒组合非线性反馈控制器。

      仿真结果表明,组合非线性反馈控制器能很好地解决无人机控制系统输入饱和的问题,而新型的鲁棒组合非线性反馈控制器能够成功的抑制外部干扰,保持CNF控制器的优异性能,极大地提高了系统的稳态性能和鲁棒性能。

参考文献 (14)

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